Question

（1）請(qǐng)觀察：25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²…寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明．
（2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑選另外兩個(gè)類似26、53的數(shù)，使它們能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和，把這兩個(gè)數(shù)相乘，乘積仍然是兩個(gè)平方數(shù)的和嗎？你能說(shuō)出其中的道理嗎？
注：有人稱這樣的數(shù)“不變心的數(shù)”．?dāng)?shù)學(xué)中有許多美妙的數(shù)，通過(guò)分析，可發(fā)現(xiàn)其中的奧秘．
瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾對(duì)26（2）的性質(zhì)作了更進(jìn)一步的推廣．他指出：可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和的甲、乙兩數(shù)相乘，其乘積仍然可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．這就是著名的歐拉恒等式．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方公式

專題：新定義,規(guī)律型

分析：（1）由題意已知25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

11…1

(n-1)個(gè)

22…2

n個(gè)

 5=（

33…3

(n-1)個(gè)

 5）²，利用完全平方式的性質(zhì)進(jìn)行證明；
（2）由題意可設(shè)m=a²+b²，n=c²+d²，求出mn的成績(jī)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

解答：解：（1）經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

11…1

(n-1)個(gè)

22…2

n個(gè)

 5=（

33…3

(n-1)個(gè)

 5）²，
∴（

33…3

(n-1)個(gè)

 5）²=（

33…3

n個(gè)

+2）²=（

1

3

×

99…9

n個(gè)

+2）²，
=[

1

3

（10n-1）+2]²=（

10n+5

3

）²=

102n

9

+

10n+1

9

+

25

9

=

102n-1

9

+

10n+1-1

9

+

25+2

9

=

11…1

2n個(gè)

+

11…1

(n+1)個(gè)

+3
=

11…1

(n-1)個(gè)

22…2

n個(gè)

5；

（2）一般地，設(shè)m=a²+b²，n=c²+d²，
則mn=（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+b²c²+a²d²=a²c²+b²d²+2abcd+b²c²-2abcd+a²d²=（ac+bd）²+（bc-ad）²或（ac-bd）²+（bc+ad）²．

點(diǎn)評(píng)：此題考查乘法公式和完全平方式的形式，要善于觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，此題難度較大．