Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

設(shè)拋物線對稱軸與直線交于點(diǎn)，連接、，求的面積；

點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)使為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)2;(3)見解析.

【解析】

（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，利用對稱軸可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD為直角三角形，則可求得其面積；
（3）根據(jù)題意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°兩種情況，當(dāng)∠DFE=90°時，可知DF∥x軸，則可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠EDF=90°時，可求得直線AD解析式，聯(lián)立直線AC和拋物線解析式可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，代入直線BC可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴可設(shè)拋物線解析式為，
把代入可得，解得，
∴拋物線解析式為；

在中，令可得，解得或，
∴，，
設(shè)直線解析式為，把代入得：，解得，
∴直線解析式為，
由可知拋物線的對稱軸為，此時，
∴，
∴，，，
∵，
∴是以為斜邊的直角三角形，
∴；

由題意知軸，則，
∴為直角三角形，分和兩種情況，
①當(dāng)時，即軸，則、的縱坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在直線上，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或；
②當(dāng)時，
∵，，
∴直線解析式為，
∵直線解析式為，
∴，
∴直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
聯(lián)立直線與拋物線解析式有，解得或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或，
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或或．