Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x²＋(2k－1)x＋k＋1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB＝90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：(1)將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，也就得出了拋物線的解析式．

　　(2)根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了OA的長，根據(jù)△OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可．

　　(3)根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求△POB的面積時(shí)，可先求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積．

　　解答：解：①∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，

　　∴0＝k＋1，

　　∴k＝－1，

　　∴y＝x²－3x，

　　②假設(shè)存在點(diǎn)B，過點(diǎn)B做BD⊥x軸于點(diǎn)D，

　　∵△AOB的面積等于6，

　　∴AO·BD＝6，

　　當(dāng)0＝x²－3x，

　　x(x－3)＝0，

　　解得：x＝0或3，

　　∴AO＝3，

　　∴BD＝4

　　即4＝x²－3x，

　　解得：x＝4或x＝－1(舍去)．

　　又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1.5，－2.25)．

　　∵2.25＜4，

　　∴x軸下方不存在B點(diǎn)，

　　∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(4，4)；

　�、邸唿c(diǎn)B的坐標(biāo)為：(4，4)，

　　∴∠BOD＝45°，BO＝＝4，

　　當(dāng)∠POB＝90°，

　　∴∠POD＝45°，

　　設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：－x，則縱坐標(biāo)為：x²－3x，

　　即－x＝x²－3x，

　　解得x＝2或x＝0，

　　∴在拋物線上僅存在一點(diǎn)P(2，－2)．

　　∴OP＝＝2，

　　使∠POB＝90°，

　　∴△POB的面積為：PO·BO＝×4×2＝8．

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖象面積求法等知識(shí)．利用已知進(jìn)行分類討論得出符合要求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．