Question

3．如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，AC⊥x軸，它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），C（10，$\frac{20\sqrt{3}}{3}$），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若P點(diǎn)的速度為2單位/秒，設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求∠BAO的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）
（2）求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t取何值時(shí)，OP=OQ．
（4）當(dāng)P沿A→B→C運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在PO=PQ，若存在，求出此時(shí)的時(shí)間t，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合圖形，計(jì)算即可；
（2）（2）作BH⊥OA于H，根據(jù)余弦的概念求出AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AH、BH，確定B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）作PM⊥OA于M，根據(jù)正弦的定義用t表示出PM、OP，根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可；
（4）分P在AB上和P在BC上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵∠CAB=30°，AC⊥x軸，
∴∠BAO=90°-30°=60°；
（2）作BH⊥OA于H，
由題意得，AC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，OA=10，
∵∠CAB=30°，
∴AB=AC•cos∠CAB=10，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=5，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=5$\sqrt{3}$，
則OH=OA-OH=5，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，5$\sqrt{3}$）；
（3）如圖2，作PM⊥OA于M，
∵AP=2t，∠OAB=60°，
∴PM=AP•sin∠OAB=$\sqrt{3}$t，
∴OP=2PM=2$\sqrt{3}$t，
∵OP=OQ，
∴2t+2=2$\sqrt{3}$t，
解得，t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
即當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$時(shí)，OP=OQ；
（4）當(dāng)P在AB上時(shí)，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$t，
∵PO=PQ，
∴$\sqrt{3}$t=$\frac{2+2t}{2}$，
解得，t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
當(dāng)P在BC上時(shí)，$\frac{2t-5}{2}$+5$\sqrt{3}$=$\frac{2+2t}{2}$，
此方程無解，
故當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$時(shí)，OP=OQ．

點(diǎn)評(píng) 本題直角三角形的性質(zhì)、銳角就是說的定義，掌握解直角三角形的應(yīng)用、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．