Question

如圖，在OABC中，點(diǎn)A在x軸上，∠AOC=60^o，OC=4cm．OA=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以acm／s的速度沿線段OC→CB運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是(______，______)，對(duì)角線OB的長度是_______cm；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大?   

(3)當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上，點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，線段PQ與對(duì)角線OB交于點(diǎn)M.若以O(shè)、M、P為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）C(2，2)，OB=4cm（2），當(dāng)t=8時(shí)，S最大（3）a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)

【解析】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。

（2）①當(dāng)0<t≤4時(shí)，

過點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D(如圖1)，

則QD=t。

∴S=OP·QD=t²。

②當(dāng)4<t≤8時(shí)，

作QE⊥x軸于點(diǎn)E(如圖2)，

則QE=2。

∴S =DP·QE=t。

③當(dāng)8<t<12時(shí)，

延長QP交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PH⊥AF于點(diǎn)H(如圖3)。

易證△PBQ與△PAF均為等邊三角形，

∴OF=OA+AP=t，AP=t－8�！郟H= (t－8)。

∴=t·2－t· (t－8)

                  =－t²+3t。 

綜上所述， 。

∵①②中S隨t的增加而增加，

③中，S隨t的增加而減小，

∴當(dāng)t=8時(shí)，S最大。   

（3）①當(dāng)△OPM∽△OAB時(shí)(如圖4)，

則PQ∥AB。

∴CQ=OP。

∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范圍是0<t≤8。   

②當(dāng)△OPM∽△OBA時(shí)(如圖5)，

則， 即。∴OM=。

 又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。

∴，即。

整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范圍是6≤t≤8。   

綜上所述：a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)。

（1）如圖，過點(diǎn)C、B分別作x的垂線于點(diǎn)M、N， 

則在Rt△COM中，由∠AOC=60^o，OC=4，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，可求得OM=2，CM=2，

∴ C(2，2)。

由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，

ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。

（2）分0<t≤4，4<t≤8和8<t<12分別討論，得到函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時(shí)t的值。

（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA兩種情況討論即可。