Question

20．如圖，點E是正方形ABCD對角線AC上一點，EC=BC，過點E作FE⊥BE，交CD于點F
（Ⅰ）∠BEC的度數(shù)等于67.5°．
（Ⅱ）若正方形的邊長為a，則CF的長等于（$\sqrt{2}$-1）a．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)，得出ACB=45°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BEC；
（2）先判斷出△ABE≌△CEF，得出CF=AE，然后用正方形的性質(zhì)求出AB進(jìn)而求出AE即可．

解答 解：（1）點E是正方形ABCD對角線AC上一點，
∴∠ACB=45°，
∵EC=BC，
∴∠BEC=∠EBC=$\frac{180°-∠ACB}{2}$=67.5°
故答案為67.5°；
由（1）知，∠CBE=∠BEC=67.5°，
∴∠ABE=22.5°，
∵FE⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠CEF=22.5°，
∴∠ABE=∠CEF，
∵∠BAE=∠ECF，
∴△ABE和△CEF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠ECF}\\{AB=CE}\\{∠ABE=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CEF，
∴CF=AE，
∵正方形ABCD的邊長為a，
∴AC=$\sqrt{2}$a，
∵CE=AB=a，
∴CF=AE=AC-CE=$\sqrt{2}a-a$=（$\sqrt{2}$-1）a，
故答案為（$\sqrt{2}$-1）a．

點評 此題是正方形的性質(zhì)，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ABE≌△CEF．