Question

（2012•邵陽）如圖所示，直線y=-

3

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x+b與x軸相交于點A（4，0），與y軸相交于點B，將△AOB沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應點為點C．
（1）求點C的坐標；
（2）設點P為線段CA上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接PB，以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM=∠BAC
①求證：△PBC∽△MPA；
②是否存在點P使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）A與C關于y軸對稱，據此即可確定C的坐標；
（2）①根據點C與點A關于y軸對稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據三角形的外角的性質即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個三角形相似；
②首先求得B的坐標，當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得PO的長，求得P的坐標；
當∠PMB=90°時，則∠PMA═90°時，BP⊥AC，則此時點P與點O重合．則P的坐標可以求得．

解答：（1）解：∵A（4，0），且點C與點A關于y軸對稱，∴C（-4，0）．

（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA=∠BPC．
又∵點C與點A關于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，
∴∠BCP=∠MAP．
∴△PBC∽△MPA．
②存在．
解：∵直線y=-

3

4

x+b與x軸相交于點A（4，0），
∴把A（4，0）代入y=-

3

4

x+b，得：b=3．∴y=-

3

4

x+3．∴B（0，3）．
當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO
∴

PO

BO

=

BO

AO

，即

PO

3

=

3

4

．∴PO=

9

4

  即：P₁（-

9

4

，0）．
當∠PMB=90°時，則∠PMA═90°（如圖）．
∴∠PAM+∠MPA=90°．
∵∠BPM=∠BAC，
∴∠BPM+∠APM=90°．
∴BP⊥AC．
∵過點B只有一條直線與AC垂直，
∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點P₂的坐標為：P₂（0，0）．
∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個P₁（-

9

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，0），P₂（0，0）．

點評：本題是一次函數與相似三角形的性質與判定的綜合應用，正確證明△PBC∽△MPA是關鍵．