求正五邊形的邊長和對角線的比值．

 

答案：
解析：

如圖，設ABCDE是正五邊形，對角線AC、BD交于F點．

∵　∠BCD=∠ABC==108°，

又CB=CD，∴　∠1=∠2==36°．

同理可求∠3=∠4=36°．∴　∠DFC=∠1+∠3=72°，∠ACD=∠BCD-∠3=108°-36°=72°，∴　DF=DC=BC．

∵　△BCD∽△BFC，∴　，即BC2=BD·BF．

設正五邊形的邊長為a，對角線長為l，

∴　a2=l(l-a)．∴　a2+al-l2=0．

∴　a=l(不合題意，舍去)，即=．

 


提示：

(1)本例是正五邊形邊與對角線的一種特殊關系，比值約為0.618，正好是黃金分割數(shù)．

(2)構造形如此例中的△BCD，使∠B=∠D=36°，作∠FCB=36°，則F是BD的黃金分割點，所以我們可用此法把已知線段黃金分割．

(3)要習慣用多邊形內角和的公式求內角及有關的角．

(4)本例還可以用以下方法證明△BCD∽△BFC．

作出正五邊形的外接圓．

∵　A、B、C、D、E是⊙O的五等分點，

∴　∠2=∠3，∠ACD=∠DFC=2∠3．

∴　BC=CD=DF．∴　△BCF∽△BDC．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：2013-2014學年江蘇省無錫市惠山北片九年級上學期期末考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

翻轉類的計算問題在全國各地的中考試卷中出現(xiàn)的頻率很大，因此初三（5）班聰慧的小菲同學結合2011年蘇州市數(shù)學中考卷的倒數(shù)第二題對這類問題進行了專門的研究。你能和小菲一起解決下列各問題嗎？（以下各問只要求寫出必要的計算過程和簡潔的文字說明即可。）

（1）如圖①，小菲同學把一個邊長為1的正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片向右翻轉一周回到初始位置，求頂點O所經過的路程；并求頂點O所經過的路線；

圖①

（2）小菲進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片向右翻轉若干次．她提出了如下問題：

圖②

問題①：若正方形紙片OABC接上述方法翻轉一周回到初始位置，求頂點O經過的路程；

問題②：正方形紙片OABC按上述方法經過多少次旋轉，頂點O經過的路程是。

（3）①小菲又進行了進一步的拓展研究，若把這個正三角形的一邊OA與這個正方形的一邊OA重合（如圖3），然后讓這個正三角形在正方形上翻轉，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相對位置和初始時一樣），求頂點O所經過的總路程。

圖③

②若把邊長為1的正方形OABC放在邊長為1的正五邊形OABCD上翻轉（如圖④），直到正方形第一次回到初始位置，求頂點O所經過的總路程。

圖④

（4）規(guī)律總結，邊長相等的兩個正多邊形，其中一個在另一個上翻轉，當翻轉后第一次回到初始位置時，該正多邊形翻轉的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的___________。

 

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