已知:如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),OD⊥AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作⊙O 的切線, 交OD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E,連接AE.

(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F,若EC∥AB,OA=6,求AF的長(zhǎng).
(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCE=90°,由OA=OC,OD⊥AC可得∠COE=∠AOE,即可證得△COE≌△AOE,則可得∠OAE =∠OCE = 90°,從而證得結(jié)論;(2)4

試題分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCE=90°,由OA=OC,OD⊥AC可得∠COE=∠AOE,即可證得△COE≌△AOE,則可得∠OAE =∠OCE = 90°,從而證得結(jié)論;
(2)設(shè)BF與OC相交于點(diǎn)G,先證得四邊形OAEC是矩形,再結(jié)合OA=OC可得矩形OAEC是正方形,則可得OG∥AE,AE=AO=6,OD=ED,所以有,則可得OG=EF,由OG∥AE可得,即可得到,從而求得結(jié)果.
(1)連接OC

∵CE是⊙O的切線
∴∠OCE=90°
∵OA=OC,OD⊥AC
∴∠COE=∠AOE
∵OA=OC,∠COE=∠AOE,OE=OE
∴△COE≌△AOE(SAS)
∴∠OAE=∠OCE=90°
∴OA⊥AE
∴AE與⊙O相切;
(2)設(shè)BF與OC相交于點(diǎn)G
∵EC∥AB
∴∠AEC=∠OAE=90°
∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°
∴四邊形OAEC是矩形
∵OA=OC
∴矩形OAEC是正方形
∴OG∥AE,AE=AO=6,OD=ED
∵OG∥AE

∴OG=EF
∵OG∥AE


.
點(diǎn)評(píng):此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng),難度較大,在中考中比較常見(jiàn),一般作為壓軸題,題目比較典型.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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求(1)中所作半圓與三角形的面積比(保留一個(gè)有效數(shù)字).
()

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(1)求證:四邊形CFDE是正方形
(2)若AC=3,BC=4,求△ABC的內(nèi)切圓半徑.

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