如圖,已知在平面直角坐標系中,點A的坐標為(-2,0),點B是點A關(guān)于原點的對稱點,P是函數(shù)圖象上的一點,且△ABP是直角三角形.
(1)求點P的坐標;
(2)如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、P三點,求這個二次函數(shù)的解析式;
(3)如果第(2)小題中求得的二次函數(shù)圖象與y軸交于點C,過該函數(shù)圖象上的點C,點P的直線與x軸交于點D,試比較∠BPD與∠BAP的大小,并說明理由.

【答案】分析:(1)先求得B點坐標,再分析△ABP滿足是直角三角形時P點的情況,可分為AB為直角邊和AB為斜邊兩種情況作答.
(2)對(1)求得的P點坐標分別討論是否滿足二次函數(shù)拋物線,求得二次函數(shù)的解析式.
(3)由點的坐標可證得△PBD∽△APD,則∠BPD與∠BAP滿足相等.
解答:解:(1)由題意,得點B的坐標為(2,0).
設點P的坐標為(x,y),
由題意可知∠ABP=90°或∠APB=90°.
(i)當∠ABP=90°時,x=2,y=1,
∴點P坐標是(2,1);
(ii)當∠APB=90°時,PA2+PB2=AB2,
即(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16①.
又由,可得y2=,
代入①解得:(負值不合題意,舍去).
時,
∴點P點坐標是(,).
綜上所述,點P坐標是(2,1)或(,).

(2)設所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
(i)當點P的坐標為(2,1)時,點A、B、P不可能在同一個二次函數(shù)圖象上;
(ii)當點P的坐標為(,)時,代入A、B、P三點的坐標,
解得:
∴所求的二次函數(shù)解析式為

(3)∠BPD=∠BAP.
證明如下:
∵點C坐標為(0,),
∴直線PC的表達式為
∴點D坐標為(,0).
∴PD=2,BD=,AD=
,

∵∠PDB=∠ADP,
∴△PBD∽△APD.
∴∠BPD=∠BAP.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合應用,重點是求解函數(shù)的解析式.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標為A(-3,7),
B(1,5),C(-5,3).
(1)將△ABC向下平移3個單位長度,得到△A′B′C′,再向右平移5個單位長度,得到△A″B″C″.在圖中分別作出△A′B′C′,△A″B″C″;
(2)分別寫出點A″、B″、C″的坐標;
(3)求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,OC=3,過點B作BD⊥BC,交OA于點D.將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn),角的兩精英家教網(wǎng)邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F.
(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)當BE經(jīng)過(1)中拋物線的頂點時,求CF的長;
(3)在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q(點Q在點P的上方),且PQ=1,要使四邊形BCPQ的周長最小,求出P、Q兩點的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知在平面直角坐標系中,直角梯形ABCD,AB∥CD,AD=CD,∠ABC=90°,A、B在x軸上,點D在y軸上,若tan∠OAD=
4
3
,B點的坐標為(5,0).
(1)求直線AC的解析式;
(2)若點Q、P分別從點C、A同時出發(fā),點Q沿線段CA向點A運動,點P沿線段AB向點B運動,Q點的速度為每秒
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個單位長度,P點的速度為每秒2個單位長度,設運動時間為t秒,△PQE的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(請直接寫出自變量t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,過P點作PQ的垂線交直線CD于點M,在P、Q運動的過程中,是否在平面內(nèi)有一點N,使四邊形QPMN為正方形?若存在,求出N點的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•樊城區(qū)模擬)如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y1=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y2=
m
x
(m≠0)的圖象相交于A、B兩點,且點B的縱坐標為-
1
2
,過點A作AC⊥x軸于點C,AC=1,OC=2.求:
(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式;
(2)求不等式kx+b-
m
x
<0的解集(請直接寫出答案).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知在平面直角坐標系中,△ABC的位置如圖所示
(1)把△ABC平移后,三角形某一邊上一點P(x,y)的對應點為P′(x+4,y-2),平移后所得三角形的各頂點的坐標分別為:A1
(3,2)
(3,2)
、B1
(0,-3)
(0,-3)
、C1
(5,-1)
(5,-1)
;
(2)在圖上畫出平移后的三角形△A1B1C1;
(3)請計算△ABC的面積.

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