Question

【題目】已知拋物線y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m為常數(shù)，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，y1），B（ ，y2），C（﹣m，y3）是該拋物線上不同的三點，現(xiàn)將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線a，過拋物線頂點P作PH⊥a于H．

（1）用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點坐標；
（2）若無論m取何值，拋物線與直線y=x﹣km（k為常數(shù)）有且僅有一個公共點，求k的值；
（3）當1＜PH≤6時，試比較y1 ， y2 ， y3之間的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵﹣ =﹣ ， = =﹣ ，

∴頂點坐標（﹣ ，﹣ ）

（2）

解：由 消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）=0，

∵拋物線與x軸有且僅有一個公共點，

∴△=0，即（k﹣3）m=0，

∵無論m取何值，方程總是成立，

∴k﹣3=0，

∴k=3

（3）

解：PH=|﹣ ﹣（﹣ ）|=| |，

∵1＜PH≤6，

∴當 ＞0時，有1＜ ≤6，又﹣1≤m≤4，

∴ ＜m≤ ，

當 ＜0時，1＜﹣ ≤6，又∵﹣1≤m≤4，

∴ ，

∴﹣1≤m＜﹣ 或 ＜m≤ ，

∵A（﹣m﹣1，y1）在拋物線上，

∴y1=（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）=﹣4m，

∵C（﹣m，y3）在拋物線上，

∴y3=（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）=﹣4m，

∴y1=y3，

①令 ＜﹣m﹣1，則有m＜﹣ ，結(jié)合﹣1≤m≤﹣ ，

∴﹣1≤m＜﹣ ，

此時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，如圖1：

，

∴y2＞y1=y3，

即當﹣1≤m＜﹣ 時，有y2＞y1=y3．

②令 =﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令 ＞﹣m﹣1，且 ≤﹣ 時，有﹣ ＜m≤﹣ ，結(jié)合﹣1≤m＜﹣ ，

∴﹣ ＜m≤﹣ ，

此時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，如圖2：

∴y1=y3＞y2，

即當﹣ ＜m≤﹣ 時，有y1=y3＞y2，

④令﹣ ≤ ＜﹣m，有﹣ ≤m＜0，結(jié)合﹣1≤m＜﹣ ，

∴﹣ ≤m＜﹣ ，

此時，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，如圖3：

∴y2＜y3=y1．

⑤令 =﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．

⑥令 ＞﹣m，有m＞0，結(jié)合 ＜m≤ ，

∴ ＜m≤ ，

此時，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，如圖4：

∴y2＞y3=y1，

即當 ＜m≤ 時，有y2＞y3=y1，

綜上所述，﹣1≤m＜﹣ 或 ＜m≤ 時，有y2＞y1=y3，

﹣ ＜m＜﹣ 時，有y2＜y1=y3．

【解析】（1）根據(jù)頂點坐標公式即可解決問題．（2）列方程組根據(jù)△=0解決問題．（3）首先證明y1=y3 ， 再根據(jù)點B的位置，分類討論，①令 ＜﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，②令 =﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．
③令 ＞﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，④令﹣ ≤ ＜﹣m，求出m的范圍即可判斷，⑤令 =﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令 ＞﹣m，求出m的范圍即可判斷．本題考查二次函數(shù)綜合題、頂點坐標公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用根的判別式解決拋物線與直線的交點問題，學(xué)會分類討論，學(xué)會利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)值的大小，屬于中考壓軸題．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．