Question

9．你可以直接利用結論“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”解決下列問題：
在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，已知∠B=60°，則△ABC共有3條對稱軸，∠A=60°，∠C=60°；
（2）如圖2，已知∠ABC=60°，點E是△ABC內部一點，連結AE、BE，將△ABE繞點A逆時針方向旋轉，使邊AB與AC重合，旋轉后得到△ACF，連結EF，當AE=3時，求EF的長度．
（3）如圖3，在△ABC中，已知∠BAC=30°，點P是△ABC內部一點，AP=2，點M、N分別在邊AB、AC上，△PMN的周長的大小將隨著M、N位置的變化而變化，請你畫出點M、N，使△PMN的周長最小，要寫出畫圖方法，并直接寫出周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用等邊三角形的判定與性質得出答案；
（2）利用旋轉的性質得出對應線段的關系，進而得出△AEF是等邊三角形，得出答案即可；
（3）利用軸對稱的性質得出畫點P關于邊AB的對稱點G，畫點P關于邊AC的對稱點H，進而得出△AGH是等邊三角形，進而得出答案．

解答 解：（1）如圖1，∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴△ABC共有3條對稱軸，∠A=60°，∠C=60°，
故答案為：3，60，60；

（2）如圖2，∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵△ACF是由△ABE繞點A旋轉而得到的，且邊AB與AC重合
∴∠EAF=∠BAC=60°，AF=AE，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=AE=3；

（3）如圖3，畫圖方法：
①畫點P關于邊AB的對稱點G，
②畫點P關于邊AC的對稱點H，
③連結GH，分別交AB、AC于點M、N，
此時△PMN周長最�。鱌MN周長最小值為2．

點評 此題主要考查了旋轉變換以及等邊三角形的判定與性質，正確應用等邊三角形的判定與性質是解題關鍵．