Question

9．你可以直接利用結(jié)論“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”解決下列問題：
在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，已知∠B=60°，則△ABC共有3條對稱軸，∠A=60°，∠C=60°；
（2）如圖2，已知∠ABC=60°，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合，旋轉(zhuǎn)后得到△ACF，連結(jié)EF，當(dāng)AE=3時，求EF的長度．
（3）如圖3，在△ABC中，已知∠BAC=30°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，AP=2，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，△PMN的周長的大小將隨著M、N位置的變化而變化，請你畫出點(diǎn)M、N，使△PMN的周長最小，要寫出畫圖方法，并直接寫出周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出答案；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)線段的關(guān)系，進(jìn)而得出△AEF是等邊三角形，得出答案即可；
（3）利用軸對稱的性質(zhì)得出畫點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對稱點(diǎn)G，畫點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn)H，進(jìn)而得出△AGH是等邊三角形，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）如圖1，∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴△ABC共有3條對稱軸，∠A=60°，∠C=60°，
故答案為：3，60，60；

（2）如圖2，∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵△ACF是由△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)而得到的，且邊AB與AC重合
∴∠EAF=∠BAC=60°，AF=AE，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=AE=3；

（3）如圖3，畫圖方法：
①畫點(diǎn)P關(guān)于邊AB的對稱點(diǎn)G，
②畫點(diǎn)P關(guān)于邊AC的對稱點(diǎn)H，
③連結(jié)GH，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，
此時△PMN周長最�。�△PMN周長最小值為2．

點(diǎn)評 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確應(yīng)用等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．