Question

18．如圖，已知A（-4，n），B（3，4）是一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)${y_2}=\frac{m}{x}$的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)D（t，0）（0＜t＜3）作x軸的垂線，分別交雙曲線${y_2}=\frac{m}{x}$和直線y₁=kx+b于P、Q兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，${S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}{S_{△APQ}}$；
（3）以PQ為邊在直線PQ的右側(cè)作正方形PQMN，試說明：邊QM與雙曲線${y_2}=\frac{m}{x}$（x＞0）始終有交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式即可；
（2）△APQ與△BPQ有一條公共邊，根據(jù)同底的三角形的面積之比等于高之比，列出關(guān)于t的方程進(jìn)行求解；
（3）設(shè)直線QM與雙曲線交于C點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P、Q、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用t的代數(shù)式表示出QM-QC，再根據(jù)t的取值范圍判斷代數(shù)式的值的符號(hào)即可．

解答 解：（1）將B（3，4）代入${y_2}=\frac{m}{x}$，得m=3×4=12，
∴反比例函數(shù)解析式為${y}_{2}=\frac{12}{x}$，
將A（-4，n）代入反比例函數(shù)，得n=-3，
∴A（-4，-3）
∵直線y₁=kx+b過點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=-4k+b}\\{4=3k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1；

（2）如圖1，∵PQ⊥x軸，
∴以PQ為底邊時(shí)，△APQ與△BPQ的面積之比等于PQ邊上的高之比，
又∵${S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}{S_{△APQ}}$，
∴$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△APQ}}=\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)D（t，0），A（-4，-3），B（3，4），
∴$\frac{\frac{1}{2}×PQ×（3-t）}{\frac{1}{2}×PQ×（t+4）}=\frac{1}{2}$，即$\frac{3-t}{t+4}=\frac{1}{2}$，
解得$t=\frac{2}{3}$；

（3）如圖2，設(shè)直線QM與雙曲線交于C點(diǎn)．
依題意可知：P（t，$\frac{12}{t}$），Q（t，t+1），C（$\frac{12}{t+1}$，t+1），
∴QM=PQ=$\frac{12}{t}-t-1$，QC=$\frac{12}{t+1}-t$，
∴QM-QC=$\frac{12}{t}-t-1-（\frac{12}{t+1}-t）$=$\frac{12}{t（t+1）}-1$，
∵0＜t＜3，
∴0＜t（t+1）＜12，
∴$\frac{12}{t（t+1）}$＞1，
即QM-QC＞0，
∴QM＞QC，
即邊QM與雙曲線${y_2}=\frac{m}{x}$始終有交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用定系數(shù)法求得函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．解此類試題時(shí)注意：同底的三角形的面積之比等于高之比；等高的三角形的面積之比等于底邊之比．