Question

【題目】如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接。

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，求的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）長(zhǎng)為5．

【解析】

（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出MD=MB，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8-x）2+42，求出即可．

（1）證明：∵四邊形是矩形，

∴，

∴，

∵在和中，

，

∴，∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，∴平行四邊形是菱形．

（2）解：

∵四邊形是菱形，∴，

設(shè)長(zhǎng)為，則，

在中，

即，解得：，所以長(zhǎng)為5．

故答案為：（1）詳見解析；（2）長(zhǎng)為5．