Question

【題目】矩形 ABCD中，O為 AC 的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接 BF交AC于點(diǎn)M連接DE，BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四邊形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】

作輔助線找全等三角形和特殊的直角三角形解題,見詳解.

解：連接BD

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC=BD，AC、BD互相平分

∵O為AC中點(diǎn)

∴BD也過O點(diǎn)

∴OB=OC

∵∠COB=60°，OB=OC

∴△OBC是等邊三角形

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°

∵FO=FC，BF=BF

∴△OBF≌△CBF（SSS）

∴△OBF與△CBF關(guān)于直線BF對(duì)稱

∴FB⊥OC，OM=CM.故③正確

∵∠OBC=60°

∴∠ABO=30°

∵△OBF≌△CBF

∴∠OBM=∠CBM=30°

∴∠ABO=∠OBF

∵AB∥CD

∴∠OCF=∠OAE

∵OA=OC

可得△AOE≌△COF,故①正確

∴OE=OF

則四邊形EBFD是平行四邊形，又可知OB⊥EF

∴四邊形EBFD是菱形.故④正確

∴△EOB≌△FOB≌△FCB.則②△EOB≌△CMB錯(cuò)誤

∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°,

設(shè)MB=a,則OM=a,OB=2a,

OF=OM,

∵OE=OF

∴MB：OE=3：2.則⑤正確

綜上一共有4個(gè)正確的,

故選B.