Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△CDE的頂點C點坐標為C（1，﹣2），點D的橫坐標為 ， 將△CDE繞點C旋轉到△CBO，點D的對應點B在x軸的另一個交點為點A．
（1）圖中，∠OCE等于多少；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點P，使S△PAE=S△CDE？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，
∴∠OCE=∠BCD；
故答案為BCD；
（2）作CH⊥OE于H，如圖，

∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，
∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，
∴OH=HE=1，
∴OE=2，
∴E點坐標為（2，0），
設B（m，0），D（，n），
∵CD2=（1﹣）2+（﹣2﹣n）2 ， CB2=（1﹣m）2+22 ， DE2=（2﹣）2+n2 ，
∴（1﹣）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22 ， （2﹣）2+n2=m2 ，
∴m=3，n=﹣，
∴B（3，0），
設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，
把B（3，0）代入得4a﹣2=0，解得a=，
∴拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣x﹣；
（3）存在．
A與點B關于直線x=1對稱，
∴A（﹣1，0），
∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，
∴△CDE≌△CBO，
∴S△CDE=S△CBO=23=3，
設P（t，t2﹣t﹣），
∵S△PAE=S△CDE ，
∴3|t2﹣t﹣|=3，
∴t2﹣t﹣=1或t2﹣t﹣img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/02/11/01/c4094a12/SYS201702110154341163223416_DA/SYS201702110154341163223416_DA.005.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />=﹣1，
解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+，t2=1﹣，此時P點坐標為（1+，1）或（1﹣，1）；
解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+，t2=1﹣，此時P點坐標為（1+，﹣1）或（1﹣，1）；
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．
【解析】（1）根據旋轉的性質易得∠OCE=∠BCD；
（2）作CH⊥OE于H，如圖，根據旋轉的性質得CO=CE，CB=CD，OB=DE，則利用等腰三角形的性質得OH=HE=1，則E點坐標為（2，0），設B（m，0），D（ ， n），利用兩點間的距離公式得CD2=（1﹣）2+（﹣2﹣n）2 ， CB2=（1﹣m）2+22 ， DE2=（2﹣）2+n2 ， 所以（1﹣）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22 ， （2﹣）2+n2=m2 ， 解關于m、n的方程組得到m=3，n=﹣ ， 則B（3，0），然后設頂點式y(tǒng)=a（x﹣1）2﹣2，再把B點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（3）先利用拋物線的對稱性得到A（﹣1，0），再根據旋轉的性質得△CDE≌△CBO，則S△CDE=S△CBO=3，設P（t，t2﹣t﹣），利用三角形面積公式得到3|t2﹣t﹣|=3，則t2﹣t﹣=1或t2﹣t﹣=﹣1，然后分別解關于t的一元二次方程求出t，從而可得到滿足條件的P點坐標．