Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，動點F在線段BC的垂直平分線DG上，垂足為D，DG交AB于E，連接CE，AF，動點F從D點出發(fā)以1cm/s的速度移動，設(shè)運動時間為t（s）．
（1）當(dāng)t=6s時，求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）①在（1）的條件下，當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形；
　�、诋�(dāng)t=4s時，四邊形ACDF是矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)找出∠BDE=∠BCA=90°，進而得出DE∥AC，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得出DE的長度，根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系可得出EF=AC，從而可證出四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出BE=EC=$\frac{1}{2}$AB，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出AC=CE=$\frac{1}{2}$AB，利用特殊角的正弦值即可得出∠B的度數(shù)；
②根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出DF=AC，再根據(jù)運動時間=路程÷速度即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：當(dāng)t=6時，DF=6cm．
∵DG是BC的垂直平分線，∠ACB=90°，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴DE∥AC，DE為△BAC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=2．
∵EF=DF-DE=4=AC，EF∥AC，
∴四邊形ACEF是平行四邊形．
（2）①∵DG是BC的垂直平分線，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$AB，
∵四邊形ACEF是菱形，
∴AC=CE=$\frac{1}{2}$AB，
∴sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°．
故答案為：30°．
②∵四邊形ACDF是矩形，
∴DF=AC=4，
∵動點F從D點出發(fā)以1cm/s的速度移動，
∴t=4÷1=4（秒）．
故答案為：4．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出EF=AC，且EF∥AC；（2）①找出sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$；②根據(jù)數(shù)量關(guān)系算出時間t．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行四邊形（菱形或矩形）的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．