Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB方向在AB上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)M為圓心，MA長為半徑畫圓，如圖2，過點(diǎn)M作NM⊥AB，交⊙M于點(diǎn)N，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：BD=　 　，BM=　 　；（請(qǐng)用準(zhǔn)確數(shù)值或含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)⊙M與BD相切時(shí)，

①求t的值；

②求△CDN的面積．

（3）當(dāng)△CND為直角三角形時(shí)，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）15，9﹣t；（2）①t=2②36；（3）t=4.5秒

【解析】分析：(1)、根據(jù)Rt△ABD的勾股定理求出BD的長度，根據(jù)AM=t得出BM的長度；(2)①、判斷出△BME和△BDA相似，得出比例式建立方程即可得出答案；②、先求出MN、CD邊上的高，利用三角形的面積公式得出答案；(3)、過點(diǎn)N作直線FG⊥MN，分別交AD，BC于點(diǎn)F，G，分別求出和與t的關(guān)系式，然后分∠DNC=90°和∠DCN=90°兩種情況求出t的值．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC=12，∠BAD=90°，

在Rt△ABD中，AB=9，BC=12，根據(jù)勾股定理得，BD==15，

由運(yùn)動(dòng)知，AM=t． ∴BM=AB﹣AM=9﹣t；

（2）①如圖1，⊙M且BD于E， ∴ME⊥BD， ∴∠BEM=∠BAD=90°， ∵∠EBM=∠ABD，

∴△BME∽△BDA， ∴， ∴， ∴t=2，

②∵M(jìn)N=AM=2t=4， ∴CD邊上的高為AD﹣MN=12﹣4=8， ∴S△CDN=×9×8=36；

（3）如圖2，過點(diǎn)N作直線FG⊥MN，分別交AD，BC于點(diǎn)F，G，

∴FN=2t，GN=9﹣2t，DF=CG=12﹣2t， ∴DN2=DF2+FN2=（12﹣2t）2+（2t）2，

∴CN2=CG2+GN2=（12﹣2t）2+（9﹣2t）2，

①當(dāng)∠DNC=90°時(shí)，DN2+CN2=CD2， ∴（12﹣2t）2+（2t）2+（12﹣2t）2+（9﹣2t）2=81，

化簡，得4t2﹣33t+72=0， ∵△=（﹣33）2﹣4×4×72＜0， ∴此方程無實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)∠DCN=90°時(shí)，點(diǎn)N在BC上，BN=BA=2t=9， ∴t=4.5，

綜上所述，t=4.5秒．