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13.如圖,等邊△ABC中,D、E分別為BC、AC上一點,且BD=CE.
(1)求證:△BMD∽△ABD;
(2)過A作AN⊥BE于N,若BD=32,AN=23,求DM.

分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC,∠ABC=∠C=60°,推出△ABD≌△BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CBE,即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠AMN=∠ABM+∠BAD=∠ABM+∠MBD,求得∠AMN=∠ABC=60°,于是得到AM=\frac{AN}{sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到\frac{BD}{AD}=\frac{DM}{BD},代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論.

解答 (1)證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,
在△ABD與△BCE中,\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.
∴△ABD≌△BCE,
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠BDM=∠ADB,
∴△BMD∽△ABD;

(2)解:∵∠AMN=∠ABM+∠BAD=∠ABM+∠MBD,
∴∠AMN=∠ABC=60°,
∵AN⊥BE,
∴∠ANM=90°,
∴AM=\frac{AN}{sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4,
∵△BMD∽△ABD,
\frac{BD}{AD}=\frac{DM}{BD},即\frac{\frac{3}{2}}{4+DM}=\frac{DM}{\frac{3}{2}},
∴DM=\frac{1}{2},(負值舍去).

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

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