Question

以AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓上一點，且OC²=AC•BC，則∠CAB為多少？

Answer 1

【答案】分析：根據直徑所對的圓周角是直角，得到直角三角形，然后過點C作AB的垂線，得到兩直角三角形相似，利用相似三角形的性質，對應邊的比相等，得到直角三角形中邊的關系，可以求出∠COD的度數，然后運用三角形的外角的性質可以求出∠CAB的度數．
解答：解：如圖1：
過點C作CD⊥AB于D，
∵AB是半⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CBD，
∴=，得：BC•AC=AB•CD，
又OC²=BC•AC，
∴OC²=AB•CD，
∵AB=2OC，
∴OC=2CD，
∴∠COD=30°，
∴∠CAB=15°．
同理，當如圖2所示時，
∠CBA=15°，則∠CAB=90°-15°=75°．
故答案為：15°或75°．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據直角三角形斜邊上的高分直角三角形所得的兩個直角三角形與原來的三角形相似，可以得到兩個相似三角形，利用相似三角形的性質計算求出角的度數．