Question

19．已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C在x軸上（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)D在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高為2，雙曲線y=$\frac{m}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）求雙曲線y=$\frac{m}{x}$和直線y=kx+b的解析式；
（3）點(diǎn)M在雙曲線上，點(diǎn)N在y軸上，如果四邊形ABMN是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，由AD∥BC，AB=CD，易得四邊形AOHD是矩形，證得Rt△ABO≌Rt△DCH，又由AD=3，BC=11，梯形的高為2，即可求得答案；
（2）由雙曲線y=$\frac{m}{x}$過(guò)點(diǎn)D，直線y=kx+b過(guò)點(diǎn)A，B，直接利用待定系數(shù)法求解即可求得答案；
（3）由四邊形ABMN是平行四邊形，可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-4，繼而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，又由AN=BM，求得答案．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∵AO⊥x軸，
∴四邊形AOHD是矩形，
∴AO=DH，AD=OH，∠AOB=∠DHC=90°，
在Rt△ABO和Rt△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DH}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABO≌Rt△DCH（HL）．
∴BO=CH，
∵梯形的高為2，
∴AO=DH=2．
∵AD=3，BC=11，
∴BO=4，OC=7．
∴A（0，2），B（-4，0），C（7，0），D（3，2）；

（2）∵雙曲線y=$\frac{m}{x}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（3，2），
∴m=xy=6．
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{6}{x}$，
∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A（0，2）、B（-4，0）兩點(diǎn)，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+2；

（3）如圖2，∵四邊形ABMN是平行四邊形．
∴BM∥AN且BM=AN．
∵點(diǎn)N在y軸上，
∴過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線與雙曲線y=$\frac{m}{x}$的交點(diǎn)即為點(diǎn)M．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-4，-$\frac{3}{2}$），
∴BM=$\frac{3}{2}$．
∴AN=BM=$\frac{3}{2}$，
∴ON=OA-AN=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．