Question

20．如圖所示，在x軸的原點放一點光源S，距點光源為a處，放一不透光的邊長為a的正方體物塊，若在x軸的上方距x軸為2a處放一個平行于x軸并且面向物塊的長平面鏡，則在x軸上正方體的右邊有部分區(qū)域被鏡面反射來的光照亮．
試利用平面鏡成像的特點、光的反射定律和相應的幾何知識完成以下問題：
（1）作出點光源S在平面鏡中所成的像S’（保留作圖痕跡）；
（2）作圖找出正方體的右邊被鏡面反射來的光照亮區(qū)域的長度并在圖中標為L．
（3）試推證：L=$\frac{4}{3}$a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面鏡成像的規(guī)律作出點光源S在平面鏡中所成的像S’；
（2）根據(jù)平面鏡成像的規(guī)律和光的直線傳播規(guī)律分別確定在x軸上能照亮的最右端和最左端；
（3）根據(jù)平面鏡成像的規(guī)律結合數(shù)學知識證明．

解答 解：（1）先根據(jù)平面鏡成像時像與物關于平面鏡對稱，作出點光源S的像點S′；
（2）設正方體的上面兩個端點分別為A、B，
根據(jù)平面鏡成像的特點：像與物關于鏡面對稱，利用光的直線傳播，連接S與正方體的A點，延長交于鏡面于G，連接S′G并延長交x軸于D點，即為能照射到的最右端；
連接S′與正方體的B點，交于鏡面于H點，并延長S′B交x軸于C點，即為能照射到的最左端；
正方體的右邊被鏡面反射來的光照亮區(qū)域的長度L即為圖中的CD；
（3）因為S距離平面鏡為2a，則S′距離平面鏡也為2a，
那么鏡中的像S′與點光源S相距2a+2a=4a；
連接SA，光反射到D點，連接S′B，光反射到C點：

由圖可知：BE=2a，SS′=4a，S′E=4a-a=3a，
因為△S′EB∽△S′SC，
所以$\frac{SC}{EB}=\frac{SS′}{S′E}$，即$\frac{SC}{2a}=\frac{4a}{3a}$，
則SC=$\frac{8a}{3}$，
SF=AF=a，則△SFA為等腰直角三角形，∠ASF=∠HGS=45°，
∠SGD=90°，△SGD為等腰直角三角形，故SD=4a，
則L=CD=SD-SC=4a-$\frac{8a}{3}$=$\frac{4}{3}$a．
故答案為：（1）如上圖所示；（2）如上圖所示；（3）證明如上．

點評 在作光源照亮的某一范圍時，最關鍵的問題是作出被照亮范圍的邊緣光線，用到所學的反射定律、平面鏡成像特點、反射光線反向延長過像點等知識去解決．同時本題對數(shù)學知識要求較高，體現(xiàn)了數(shù)學知識有物理中的應用，有難度．