Question

13．橫截面積均為S=1cm²的物體A與塑料B粘合成一個粘合體，全長為l=50cm，粘合體放入水中時漂浮在水面，浸入水中的長度為$\frac{4}{5}$l，如圖所示，現(xiàn)將浮出水面部分切掉，以后每浮出水面一部分，穩(wěn)定后就把它切掉．已知ρ_水=1.0×10³kg/m³，ρ_B=0.4×10³kg/m³，g取10N/kg．求：
（1）粘合體未被切前，A底面受到水的壓強；
（2）粘合體未被切前的總質(zhì)量；
（3）第一次切掉后，穩(wěn)定時浸入水中的長度；
（4）第四次切掉后，穩(wěn)定時浮出水面部分的長度．

Answer 1

分析 （1）粘合體未被切前，浸入水中的長度為$\frac{4}{5}$l，據(jù)此求出A底面所處的深度，利用p=ρgh計算出水對A底面的壓強；
（2）根據(jù)體積V=Sh求出排開水的體積，根據(jù)阿基米德原理計算出受到的浮力；根據(jù)漂浮條件F_浮=G即可求出物體的總重力，利用m=$\frac{G}{g}$計算出總質(zhì)量；
（3）由圖可知：粘合體露出水面的物體是塑料B，根據(jù)體積V=Sh求出露出水面的塑料B的體積；利用G=ρgV計算出第一次切掉后粘合體減小的重力，從而得出剩余的粘合體的重力G₁，根據(jù)漂浮條件F_浮=G和阿基米德原理即可求出粘合體排開水的體積V₁，進而得出穩(wěn)定時浸入水中的長度h₁；
（4）根據(jù)（3）的計算步驟分別求出即可二、三、四次切掉后的浸入水中的長度，即可出浮出水面部分的長度．

解答 解：（1）粘合體未被切前，浸入水中的長度h=$\frac{4}{5}$l=$\frac{4}{5}$×50cm=40cm=0.4m，
則A底面受到水的壓強p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.4m=4×10³Pa；
（2）粘合體未被切前，排開水的體積V_排=Sh=1cm²×40cm=40cm³=4×10^-5m³，
由于物體處于漂浮，根據(jù)漂浮條件可知：
G=F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×4×10^-5m³=0.4N；
所以m=$\frac{G}{g}$=$\frac{0.4N}{10N/kg}$=0.04kg=40g；
（3）由圖可知：粘合體未被切前，塑料B露出水面的體積V_露=S（l-h）=1cm²×（50cm-40cm）=10cm³=1×10^-5m³，
第一次切掉后粘合體減小的重力△G₁=G_B露=ρ_BgV_露=0.4×10³kg/m³×10N/kg×1×10^-5m³=0.04N；
第一次切掉后剩余的粘合體的重力G₁=G-△G₁=0.4N-0.04N=0.36N，
由于切掉后剩余的粘合體仍處于漂浮，根據(jù)漂浮條件可知：
F_浮1=G₁=0.36N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排1=$\frac{{F}_{浮1}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.36N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.6×10^-5m³=36cm³；
穩(wěn)定時浸入水中的長度h₁=$\frac{{V}_{排1}}{S}$=$\frac{36c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=36cm；
（4）第一次切掉后塑料B露出水面的體積V_露1=S（h-h₁）=1cm²×（40cm-36cm）=4cm³=4×10^-6m³；
粘合體減小的重力△G₂=G_露1=ρ_BgV_露1=0.4×10³kg/m³×10N/kg×4×10^-6m³=0.016N；
第二次切掉后剩余的粘合體的重力G₂=G₁-△G₂=0.36N-0.016N=0.344N，
由于切掉后剩余的粘合體仍處于漂浮，根據(jù)漂浮條件可知：
F_浮2=G₂=0.344N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排2=$\frac{{F}_{浮2}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.344N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.44×10^-5m³=34.4cm³；
穩(wěn)定時浸入水中的長度h₂=$\frac{{V}_{排2}}{S}$=$\frac{34.4c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=34.4cm；
第二次切掉后塑料B露出水面的體積V_露2=S（h₁-h₂）=1cm²×（36cm-34.4cm）=1.6cm³=1.6×10^-6m³；
粘合體減小的重力△G₃=G_露2=ρ_BgV_露2=0.4×10³kg/m³×10N/kg×1.6×10^-6m³=0.0064N；
第三次切掉后剩余的粘合體的重力G₃=G₂-△G₃=0.344N-0.0064N=0.3376N，
由于切掉后剩余的粘合體仍處于漂浮，根據(jù)漂浮條件可知：
F_浮3=G₃=0.3376N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排3=$\frac{{F}_{浮3}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.3376N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.376×10^-5m³=33.76cm³；
穩(wěn)定時浸入水中的長度h₃=$\frac{{V}_{排3}}{S}$=$\frac{33.76c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=33.76cm；
第三次切掉后塑料B露出水面的體積V_露3=S（h₂-h₃）=1cm²×（34.4cm-33.76cm）=0.64cm³=6.4×10^-7m³；
粘合體減小的重力△G₄=G_露3=ρ_BgV_露3=0.4×10³kg/m³×10N/kg×6.4×10^-7m³=0.00256N；
第四次切掉后剩余的粘合體的重力G₄=G₃-△G₄=0.3376N-0.00256N=0.33504N，
由于切掉后剩余的粘合體仍處于漂浮，根據(jù)漂浮條件可知：
F_浮3=G₃=0.33504N，
由F_浮=ρ_水gV_排得知：
V_排4=$\frac{{F}_{浮4}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{0.33504N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3.3504×10^-5m³=33.504cm³；
穩(wěn)定時浸入水中的長度h₄=$\frac{{V}_{排4}}{S}$=$\frac{33.504c{m}^{3}}{1c{m}^{2}}$=33.504cm；
所以漏出的長度為：L_露4=h₃-h₄=33.76cm-33.504cm=0.256cm．
答：（1）粘合體未被切前，A底面受到水的壓強為4×10³Pa；
（2）粘合體未被切前的總質(zhì)量為40g；
（3）第一次切掉后，穩(wěn)定時浸入水中的長度為36cm；
（4）第四次切掉后，穩(wěn)定時浮出水面部分的長度0.256cm．

點評 本題考查了液體壓強、漂浮條件、阿基米德原理、重力和密度等公式的靈活運用．解決此題的關(guān)鍵是利用漂浮條件．