Question

1．某科技小組設計的提升重物的裝置如圖甲所示．圖中水平桿CD與豎直桿EH、DI組合成支架固定在水平地面上．小科站在地面上通過滑輪組提升重物，滑輪組由動滑輪P和動滑輪Q（動滑輪P和動滑輪Q的質量相等）以及安裝在水平桿CD上的定滑輪組成．小科以拉力F₁勻速豎直提升物體A的過程中，物體A的速度為υ₁，滑輪組的機械效率為η_A．小科以拉力F₂勻速豎直提升物體B的過程中，物體B的速度為υ₂，滑輪組的機械效率為η_B．拉力F₁、F₂做的功隨時間變化的圖象分別如圖乙中①、②所示．已知：υ₁=3υ₂，物體A的體積為V_A，物體B的體積為V_B，且3V_A=2V_B，物體A的密度為ρ_A，物體B的密度為ρ_B，且8ρ_A=7ρ_B．（不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦）求：

（1）A物體和B物體的重力之比；
（2）兩次拉物體時拉力的功率之比；
（3）拉力F₁、F₂之比；
（4）機械效率η_B與η_A之差．

Answer 1

分析 （1）根據兩物體的體積關系和密度關系，利用密度公式和重力公式計算出物重G_A和G_B之比；
（2）根據題中乙圖W-t圖象提供的信息，可利用公式P=$\frac{W}{t}$計算出拉力F₁和F₂的做功功率P₁和P₂之比；
（3）知道物體A、B運動速度關系，可利用P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv計算出拉力F₁和F₂之比；
（4）利用F=$\frac{1}{2}$（G_物+G_動），求出拉力的大小關系；從而得出動滑輪和物重G_A和G_B關系；再利用效率公式求兩種情況下的機械效率求差值．

解答 解：（1）兩物體A、B的體積3V_A=2V_B，即：$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}$=$\frac{2}{3}$，
兩物體A、B的密度8ρ_A=7ρ_B，即：$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{7}{8}$，
由G=mg=ρVg得，兩次所拉物體的重力之比為：
$\frac{{G}_{A}}{{G}_{B}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}g}{{ρ}_{B}{V}_{B}g}$=$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$×$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{7}{8}$=$\frac{7}{12}$，
（2）由圖乙W-t圖象可知：
當時間t=2s時，拉力F₁做的功W₁=180J，拉力F₂做的功W₂=90J，
由P=$\frac{W}{t}$得，兩次拉力的功率之比為：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{\frac{{W}_{1}}{t}}{\frac{{W}_{2}}{t}}$=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$=$\frac{180J}{90J}$=$\frac{2}{1}$．
（3）由圖甲可知，當物體A的速度為v₁時，繩子自由端的速度為v₁′=4v₁，
當物體B的速度為v₂時，繩子自由端的速度為v₂′=4v₂，
又因為v₁=3v₂，所以v₁′=3v₂′，即$\frac{{v}_{1}^{′}}{{v}_{2}^{′}}$=$\frac{3}{1}$，
由P=$\frac{W}{t}$=$\frac{Fs}{t}$=Fv得，拉力F₁、F₂之比為：
$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{\frac{{P}_{1}}{{v}_{1}^{′}}}{\frac{{P}_{2}}{{v}_{2}^{′}}}$=$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$×$\frac{{v}_{2}^{′}}{{v}_{1}^{′}}$=$\frac{2}{1}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
（4）不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦，
拉動物體A和物體B的拉力：
F₁=$\frac{1}{2}$（G_A+G_動），F(xiàn)₂=$\frac{1}{2}$（G_B+G_動），
因為$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
則$\frac{{G}_{A}+{G}_{動}}{{G}_{B}+{G}_{動}}$=$\frac{2}{3}$，
又因為$\frac{{G}_{A}}{{G}_{B}}$=$\frac{7}{12}$，
G_動=$\frac{3}{7}$G_A，G_動=$\frac{1}{4}$G_B，
η_A=$\frac{{W}_{有A}}{{W}_{總A}}$=$\frac{{G}_{A}h}{（{G}_{A}+{G}_{動}）h}$=$\frac{{G}_{A}}{{G}_{A}+\frac{3}{7}{G}_{A}}$=70%，
η_B=$\frac{{W}_{有B}}{{W}_{總B}}$=$\frac{{G}_{B}h}{（{G}_{B}+{G}_{動}）h}$=$\frac{{G}_{B}}{{G}_{B}+\frac{1}{4}{G}_{B}}$=80%，
η_B-η_A=80%-70%=10%．
答：（1）A物體和B物體的重力之比為7：12；
（2）兩次拉物體時拉力的功率之比為2：1；
（3）拉力F₁、F₂之比為2：3；
（4）機械效率η_B與η_A之差為10%．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對質量公式、重力公式、功率公式、效率公式及其公式變形的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識．本題關鍵：一是n的確定（直接從動滑輪上引出的繩子股數），二是不計摩擦和繩重時，F(xiàn)=$\frac{1}{2}$（G_物+G_動），三是不計摩擦和繩重時，W_額=G_動h．