Question

1．一個底面直徑為$\sqrt{2}$R、底面積為S的薄壁圓柱形容器放在水平地面上，容器內(nèi)裝有一定量的水．
①若容器內(nèi)水的質(zhì)量為2千克，求水的體積．
②求距離水面0.1米深處的液體內(nèi)部壓強．
③若在水中浸入一個正方體，正方體沉底后，液體深度變?yōu)閔，液體對容器底部的壓強的增加量為△p，為使△p達到最大，求該正方體的邊長及液體對容器底部的壓強的增加量△p．（結(jié)果用ρ_水、S、R、h等字母表示）

Answer 1

分析 ①已知水的密度和水的質(zhì)量，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$即可求出水的體積；
②已知水的密度和水的深度，直接根據(jù)p=ρgh即可求出水面下0.1米深處水的壓強；
③根據(jù)p=ρgh可知，當(dāng)容器足夠深時水未溢出，此時水深度的變化量最大，根據(jù)△p=ρ_水g△h求出壓強的最大變化量；當(dāng)容器裝滿液體時放入甲物體后液體的深度不變、壓強不變，即△p=0，然后結(jié)合壓強的最大變化量和壓強的最小變化量求出水對容器底部壓強增加量的變化范圍．

解答 解：①由ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的體積：
V=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{2kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-3m³；
②距離水面0.1米深處的液體內(nèi)部壓強：
p=ρ_水gh=1×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=980Pa；
③根據(jù)p=ρgh可知，為使△P達到最大，物體排開水的體積應(yīng)最大，所以正方體的邊長最大；
由于薄壁圓柱形容器的底面直徑為$\sqrt{2}$R，
如圖1所示，根據(jù)勾股定理可知，正方體的邊長最大為R；

正方體沉底后，若處于浸沒狀態(tài)（圖2的左圖），即R≤h，
由于物體對液體的壓力和液體對物體的浮力是一對相互作用力，
所以液體對容器底部的壓力增加量：
△F₁=F_浮1=ρ_水gV_排=ρ_水gV_物=ρ_水gR³，
所以，△p₁=$\frac{△{F}_{1}}{S}$=$\frac{{ρ}_{水}g{R}^{3}}{S}$；
正方體沉底后，若物體沒有浸沒（圖2的右圖），即R＞h，
則液體對容器底部的壓力增加量：
△F₂=F_浮2=ρ_水gV_排′=ρ_水ghR²，
則△p₂=$\frac{△{F}_{2}}{S}$=$\frac{{ρ}_{水}h{R}^{2}g}{S}$．
答：①水的體積為2×10^-3m³．
②距離水面0.1米深處的液體內(nèi)部壓強為980Pa．
③為使△p達到最大，該正方體的邊長為R；
若R≤h，液體對容器底部的壓強的增加量△p₁=$\frac{{ρ}_{水}g{R}^{3}}{S}$；若R＞h，△p₂=$\frac{{ρ}_{水}h{R}^{2}g}{S}$．

點評 本題考查密度公式的應(yīng)用和液體壓強的計算，關(guān)鍵是圓柱形容器對容器底部的壓力的增加就等于物體排開的水的重力．