Question

9．如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=BC=CA，D，D₁分別是BC，B₁C₁的中點，四邊形ADD₁A₁是菱形，且平面ADD₁A₁⊥平面CBB₁C₁．
（Ⅰ）求證：四邊形CBB₁C₁為矩形；
（Ⅱ）若$∠AD{D_1}=\frac{π}{3}$，且A-BB₁C₁C體積為$\sqrt{3}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作AO⊥DD₁，證明BC⊥平面ADD₁A₁，即可證明四邊形CBB₁C₁為矩形；
（Ⅱ）若$∠AD{D_1}=\frac{π}{3}$，且A-BB₁C₁C體積為$\sqrt{3}$，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直截面的周長，即可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積．

解答 （Ⅰ）證明：作AO⊥DD₁，則
∵平面ADD₁A₁⊥平面CBB₁C₁，平面ADD₁A₁∩平面CBB₁C₁=DD₁，∴AO⊥平面CBB₁C₁，
∴AO⊥BC，
∵AB=BC=CA，D是BC的中點，∴BC⊥AD，
∵AO∩AD=A，
∴BC⊥平面ADD₁A₁，
∴BC⊥DD₁，∴BC⊥CC₁，
∴四邊形CBB₁C₁為矩形；
（Ⅱ）解：設(shè)AB=2a，則AO=$\frac{3}{2}$a，BB₁=$\sqrt{3}$a，
∴A-BB₁C₁C體積=$\frac{1}{3}×2a×\sqrt{3}a×\frac{3}{2}a$=$\sqrt{3}$，∴a=1，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直截面的邊長分別為2，$\sqrt{\frac{9}{4}+1}$，$\sqrt{\frac{9}{4}+1}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積=（2+$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$）×2=4+2$\sqrt{13}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．