Question

7．已知a、b、c都是正數(shù)，
（1）求證：$\frac{bc}{a}$+$\frac{ca}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c，
（2）若a+b+c=1，求證：$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}$+$\frac{1-c}{c}$≥6．

Answer 1

分析 （1）a、b、c都是正數(shù)，運(yùn)用均值不等式，可得a²b²+b²c²≥2ab²c，a²c²+b²c²≥2ac²b，a²b²+a²c²≥2a²bc，累加即可得證；
（2）由a+b+c=1，可得$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$），運(yùn)用二元均值不等式即可得證．

解答 證明：（1）a、b、c都是正數(shù)，可得
a²b²+b²c²≥2ab²c，
a²c²+b²c²≥2ac²b，
a²b²+a²c²≥2a²bc，
相加可得a²b²+b²c²+c²a²≥ab²c+ac²b+a²bc=abc（b+c+a），
可得$\frac{bc}{a}$+$\frac{ca}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號(hào)）；
（2）a+b+c=1，可得
$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$
=（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）
≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$+2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{a}{c}}$+2$\sqrt{\frac{c}•\frac{c}}$=6．
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號(hào)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用二元均值不等式，以及不等式的性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．