如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小.

 

【答案】

（1）（2）二面角的正切值為

【解析】

試題分析：解：（法一）（1）連接，與的交點(diǎn)為，在中, .

,點(diǎn)為的中點(diǎn)，.又面，則.

則面，而∥，則面,

為直線與平面所成的角, 面，,.

又，.

,,

在中，,

直線與平面所成角的正弦值為             6分

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,

,平面，即為在平面內(nèi)的射影， 為二面角的平面角.

中，,,

二面角的正切值為.        12分

(法二)建立間直角坐標(biāo)系如圖，則,,,,,

(1)由已知可得，=為平面的法向量=,

.

直線與面所成角的正弦值為.          6分

（2）設(shè)平面的法向量為，,

，，令，

由已知可得，向量為平面的一個(gè)法向量,

二面角為 .        12分

考點(diǎn)：線面角和二面角的平面角

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)判定定理和性質(zhì)定理來(lái)得到角，結(jié)合三角形求解，或者利用向量法來(lái)求解，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆廣西玉林市高二下學(xué)期三月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，為中點(diǎn)．

 （Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．    （本題12分）

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年浙江省臺(tái)州市高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在三棱錐中， 兩兩垂直且相等，過(guò)的中點(diǎn)作平面∥，且分別交于，交的延長(zhǎng)線于．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011---2012學(xué)年四川省高二10月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖：在三棱錐中，已知點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，，求證：平面⊥平面.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：黑龍江省2013屆高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，為中點(diǎn)。（1）求證：平面

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明理由。

 

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