Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為S_n，已知a₄=7，a₇-a₂=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n及前n項和為S_n；
（2）求證：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出a₁，d．進而得到a_n，S_n；
（2）利用“裂項求和”和放縮法即可得出．

解答：解：（1）由題意可得

a4=a1+3d=7 a7-a2=5d=10

，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=

1×(1+2n-1)

2

=n2．
（2）∵

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2•(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]．
∴

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

[(1-

1

32

)+(

1

22

-

1

42

)+(

1

32

-

1

52

)+…+(

1

n2

-

1

(n+2)2

)]
=

1

4

[1+

1

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]
＜

1

4

×

5

4

=

5

16

．

點評：熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”和“放縮法”等是解題的關(guān)鍵．