Question

設(shè)

n

P1+P2+…+Pn

為n個正數(shù)P₁，P₂，…，P_n的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為

1

3n+2

，則

1

a1a2

+

1

a2a3

+???+

1

anan+1

=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為

1

3n+2

，即可求出S_n，然后利用裂項法進行求和即可．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為

1

3n+2

，
∴

n

Sn

=

1

3n+2

，
即S_n=3n²+2n，
∴a_n=S_n-S_n-1=6n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差d=6．
∴

1

anan+1

=

1

(6n-1)(6n+5)

=

1

6

(

1

6n-1

-

1

6n+5

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+???+

1

anan+1

=

1

6

(

1

5

-

1

11

+

1

11

-

1

17

+???+

1

6n-1

-

1

6n+5

)=

1

6

(

1

5

-

1

6n+5

)=

n

5(6n+5)

，
故答案為：

n

5(6n+5)

點評：本題主要考查數(shù)列的求和，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)條件求出數(shù)列{a_n}的通項公式是突破點．