分析:(1)由y=2x
2,得y′=4x.當x=-1時,y'=-4.由此能求出l
1的方程.
(2)由
,得:B點坐標為(a,2a
2).由
,得D點坐標(a,-4a-2).點A到直線BD的距離為|a+1|.由此能求出|BD|及S
1的值.
(3)當a>-1時,S
1=(a+1)
3,S
2=∫
-1a[2x
2-(-4x-2)]dx=∫
-1a(2x
2+4x+2)dx=
(a+1)3.S
1:S
2=
.當a<-1時,S
1=-(a+1)
3,S
2=∫
a-1[2x
2-(-4x-2)]dx=∫
a-1(2x
2+4x+2)dx=
-(a+1)3.S
1:S
2=
,綜上可知S
1:S
2的值為與a無關(guān)的常數(shù),這常數(shù)是
.
解答:解:(1)由y=2x
2,得y′=4x.當x=-1時,y'=-4.(2分)
∴l(xiāng)
1的方程為y-2=-4(x+1),即y=-4x-2.(3分)
(2)由
,得:B點坐標為(a,2a
2).(4分)
由
,得D點坐標(a,-4a-2).(5分)
∴點A到直線BD的距離為|a+1|.(6分)
|BD|=2a
2+4a+2=2(a+1)
2∴S
1=|a+1|
3.(7分)
(3)當a>-1時,S
1=(a+1)
3,(8分)
S
2=∫
-1a[2x
2-(-4x-2)]dx
=∫
-1a(2x
2+4x+2)dx
=
(x3+2x2+2x)=
(a+1)3.(9分)
∴S
1:S
2=
.(11分)
當a<-1時,S
1=-(a+1)
3S
2=∫
a-1[2x
2-(-4x-2)]dx
=∫
a-1(2x
2+4x+2)dx
=
-(a+1)3.(13分)
∴S
1:S
2=
,綜上可知S
1:S
2的值為與a無關(guān)的常數(shù),這常數(shù)是
.(14分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識,解題時要注意雙曲線的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、定積分的靈活運用,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.