如圖所示，空間中有兩個正方形ABCD和ADEF，設M、N分別是BD和AE的中點，那么以下四個命題中正確的個數(shù)是 ________．
①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是異面直線

3
分析：如圖連接AC交BD于M，則易證AD垂直于平面CDE，NM∥CE，則根據(jù)線面垂直的定義及線面平行的判定定理，四個選項容易確定正誤．
解答：解：
對于①，由AD⊥DC，AD⊥DE，易證AD垂直于平面CDE，所以AD⊥CE，又MN是三角形ACE的中位線，
故NM∥CE，所以AD⊥MN，正確；因此③正確；
對于②MN是三角形ACE的中位線，故NM∥CE，從而可以得到MN∥面CDE，正確；
對于④，由③正確，故錯誤．
答案為 3．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定及性質，直線與平面平行的判定及性質，同時結合圖形解決問題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，空間中有兩個正方形ABCD和ADEF，設M、N分別是BD和AE的中點，那么以下四個命題中正確的個數(shù)是
 
．
①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是異面直線

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科目：高中數(shù)學 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學 題型：013

如圖所示，空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD和ADEF，設M、N分別是BD和AE的中點，那么

①AD⊥MN　　②MN∥平面CDE

③MN∥CE　�、躆N、CE異面

以上四個命題中正確命題的個數(shù)是

[　　]

A．1
B．2
C．3
D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆福建省高一下學期第一次月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與直線A1D1，EF，CD都相交的直線(　　)．

A．有無數(shù)條         B．有且只有兩條      C．有且只有三條      D．不存在

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，

又因為,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，

又因為,又………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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