精英家教網(wǎng)如圖所示，空間中有兩個(gè)正方形ABCD和ADEF，設(shè)M、N分別是BD和AE的中點(diǎn)，那么以下四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是
 
．
①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是異面直線
分析：如圖連接AC交BD于M，則易證AD垂直于平面CDE，NM∥CE，則根據(jù)線面垂直的定義及線面平行的判定定理，四個(gè)選項(xiàng)容易確定正誤．
解答：精英家教網(wǎng)解：
對(duì)于①，由AD⊥DC，AD⊥DE，易證AD垂直于平面CDE，所以AD⊥CE，又MN是三角形ACE的中位線，
故NM∥CE，所以AD⊥MN，正確；因此③正確；
對(duì)于②MN是三角形ACE的中位線，故NM∥CE，從而可以得到MN∥面CDE，正確；
對(duì)于④，由③正確，故錯(cuò)誤．
答案為 3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，直線與平面平行的判定及性質(zhì)，同時(shí)結(jié)合圖形解決問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004全國(guó)各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型：013

如圖所示，空間中兩個(gè)有一條公共邊AD的正方形ABCD和ADEF，設(shè)M、N分別是BD和AE的中點(diǎn)，那么

①AD⊥MN　�、贛N∥平面CDE

③MN∥CE　　④MN、CE異面

以上四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是

[　　]

A．1
B．2
C．3
D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆福建省高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1D1，EF，CD都相交的直線(　　)．

A．有無數(shù)條         B．有且只有兩條      C．有且只有三條      D．不存在

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

如圖所示，空間中有兩個(gè)正方形ABCD和ADEF，設(shè)M、N分別是BD和AE的中點(diǎn)，那么以下四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是 ________．
①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是異面直線

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