Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B分別是橢圓的上頂點、右頂點，原點O到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求E的方程；
（2）直線l₁，l₂的斜率均為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l₁與E相切于點M（點M在第二象限內(nèi)），直線l₂與E相交于P，Q兩點，MP⊥MQ，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，確定a，b，c的關(guān)系，利用等面積建立方程，求出a，b，即可求E的方程；
（2）確定M（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），利用MP⊥MQ，可得$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，建立方程，求出直線l₂的方程．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$a=\sqrt{2}c$，b=c，
△OAB中，|OA|=$\sqrt{2}$c，|OB|=c，|AB|=$\sqrt{3}$c，
∵原點O到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}×c×c$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}c×\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)直線l₂：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m，代入橢圓方程得x²+$\sqrt{2}$mx+m²-1=0，（*）           
△=-2m²+4=0，m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍去），此時方程（*）的解為x=-1，故M（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
△＞0時，-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\sqrt{2}$m，x₁x₂=m²-1．
∴$\overrightarrow{MP}$=（x₁+1，y₁-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{MQ}$=（x₂+1，y₂-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=（x₁+1，y₁-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（x₂+1，y₂-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}$x₁x₂+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+$\frac{1}{2}$）（x₁+x₂）+（m²-$\sqrt{2}m+\frac{3}{2}$）
=$\frac{3}{2}$•（m²-1）+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+$\frac{1}{2}$）（-$\sqrt{2}$m）+（m²-$\sqrt{2}m+\frac{3}{2}$）
=$\frac{3}{2}$m（m-$\sqrt{2}$），
∵M(jìn)P⊥MQ，
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，
∴$\frac{3}{2}$m（m-$\sqrt{2}$）=0，
∴m=0或m=$\sqrt{2}$，
∵-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
∴m=0，
∴直線l₂的方程：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查橢圓的離心率公式和點到直線的距離公式，考查直線方程和橢圓方程的位置關(guān)系，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．