Question

已知函數(shù)，其中.
（1）若，求函數(shù)的定義域和極值；
（2）當時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，并證明.

Answer 1

（1）定義域為，且，當時，函數(shù)有極小值；（2）函數(shù)存在兩個零點．

試題分析：若，求函數(shù)的定義域和極值，把代入得函數(shù)，故可求得函數(shù)的定義域，求它的極值，對函數(shù)求導，求出導數(shù)等于零點，及兩邊導數(shù)的符號，從而確定極值點；（2）當時，試確定函數(shù)的零點個數(shù)，即求函數(shù)的零點個數(shù)，首先確定定義域，在定義域內(nèi)，考慮函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性與根的存在性定理，來判斷零點的個數(shù)．
（1）函數(shù)的定義域為，且.              1分
.                                 3分
令，得，
當變化時，和的變化情況如下：

	↘	↘		↗

      4分
故的單調(diào)減區(qū)間為，；單調(diào)增區(qū)間為．
所以當時，函數(shù)有極小值.                      5分
（2）結論：函數(shù)存在兩個零點.
證明過程如下：
由題意，函數(shù)，
因為 ，
所以函數(shù)的定義域為.                                      6分
求導，得，          7分
令，得，，
當變化時，和的變化情況如下：

	↗		↘		↗

 
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為，．
當時，函數(shù)有極大值；當時，函數(shù)有極小值.                                                        9分
因為函數(shù)在單調(diào)遞增，且，
所以對于任意，.                              10分
因為函數(shù)在單調(diào)遞減，且，
所以對于任意，.                                11分
因為函數(shù)在單調(diào)遞增，且，，
所以函數(shù)在上僅存在一個，使得函數(shù)，      12分
故函數(shù)存在兩個零點（即和）.                           13分