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已知MN為長寬高分別為3，4，5的長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的一條直徑，P為該長方體表面上任一點，則MN=
 
，
PM
•
PN
的最小值為
 
．
考點：空間向量的數量積運算
專題：空間向量及應用
分析：|MN|=
32+42+52
．如圖所示，M（0，0，0），N（4，5，3）．設P（x，y，z）（0≤x≤4，0≤y≤5，0≤z≤3）．可得
PM
•
PN
=
MP
•(
MP
-
MN
)=x2+y2+z2-4x-5y-3z
=（x-2）2+(y-
5
2
)2+(z-
3
2
)2-
50
4
，即可得出．
解答： 解：|MN|=
32+42+52
=5
2
．
如圖所示，M（0，0，0），N（4，5，3）．
設P（x，y，z）（0≤x≤4，0≤y≤5，0≤z≤3）．
PM
•
PN
=
MP
•
NP
=
MP
•(
MP
-
MN
)=
MP
2-
MN
•
MP

=x2+y2+z2-4x-5y-3z
=（x-2）2+(y-
5
2
)2+(z-
3
2
)2-
50
4
，
≥0+0+
9
4
-
50
4
=-
41
4
，即x=2，y=
5
2
，z=0時取等號，此時點P在ABCD平面內．
故答案分別為：5
2
，-
41
4
．
點評：本題考查了長方體的性質、外接球的性質、數量積運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lnx-
a
x
+1．
（1）若a=-
e
時，求f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若f（x）＜x2+1在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的方程：
OA
x2+
OB
2x+
OC
=
O
（x∈R），其中點C為直線AB上一點，O是直線外一點，則下列結論正確的是（　�。�
A、點C在線段AB上
B、點C在線段AB的延長線上且點B為線段AC的中點
C、點C在線段AB的反向延長線上且點A為線段BC的中點
D、以上均為可能

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科目：高中數學 來源： 題型：

在4件產品中，有一等品2件，二等品1件（一等品與二等品都是正品），次品1件，現從中任取兩件，則兩件中有一件是次品的概率
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

我國自從1979年實行計劃生育政策以來，“獨生子女”就作為一種特殊的群體存在于我國社會中，從理論研究的角度看，對“獨生子女”的研究橫跨和占據了多學科的領地，例如心理學、教育學、人口學和社會學．某農村高中心里咨詢室在研究獨生子女“偏執(zhí)”性格與獨生是否有關時，從在校學生中抽樣調查50人，得到如下數據：
  不偏執(zhí) 偏執(zhí)
 獨生子女 12 18
 非獨生子女 12 8
根據表中數據，計算統(tǒng)計量K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
≈1.9231，參考以下臨界數據：
P（K2＞k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83
可以得到性格偏執(zhí)與是否獨生有關的把握為
 
%．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩個球的表面積之比為1：9，則這兩個球的半徑之比為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A（x，1，2）和點B（2，3，4），且|AB|=2
6
，則實數x的值是（　　）
A、-3或4B、3或-4
C、6或-2D、6或2

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=sinwx（w＞0）圖象向右平移
π
8
得到的函數g（x）在[0，1]上恰有三個最高點 求w取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列函數中，在其定義域上是增函數的是（　�。�
A、y=-2x
B、y=（
1
2
）x
C、y=log 
1
2
x
D、y=x 
1
2

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