Question

19．求證：函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{x}-1$在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)x₁＞x₂＞0，用定義法作差可得f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，結(jié)合x₁＞x₂＞0，分析可得x₁-x₂＞0且x₁•x₂＞0，分析可得f（x₁）-f（x₂）的符號，由函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得證明．

解答 證明：根據(jù)題意，設(shè)x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由x₁＞x₂＞0，則x₁-x₂＞0且x₁•x₂＞0，
則有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{x}-1$在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，要掌握定義法的證明過程并正確化簡．