Question

13．已知函數(shù)y=log_a（x-1）+3，（a＞0且a≠1）的圖象恒過點(diǎn)P，則P的坐標(biāo)是（2，3），若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，則sin²α-sin2α的值等于$-\frac{3}{13}$．

Answer 1

分析 令x-1=1求出x和y，可求出函數(shù)y=log_a（x-1）+3圖象過的定點(diǎn)P的坐標(biāo)，由三角函數(shù)的定義求出sinα、cosα，由二倍角的正弦公式化簡所求的式子，將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．

解答 解：令x-1=1得，x=2，則此時y=log_a1+3=3，
∴函數(shù)y=log_a（x-1）+3的圖象過定點(diǎn)P（2，3），
∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P，∴sinα=$\frac{3}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，cosα=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
∴sin²α-sin2α=sin²α-2sinαcosα=$\frac{9}{13}-2×\frac{3}{\sqrt{13}}×\frac{2}{\sqrt{13}}$=$-\frac{3}{13}$，
故答案為：（2，3）；$-\frac{3}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)的問題，任意角的三角函數(shù)定義，以及二倍角的正弦公式的應(yīng)用，難度小．