Question

2．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在y軸上，離心率等于$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，P是橢圓E上的點(diǎn)，以線段PF₁為直徑的圓經(jīng)過F₂，且9$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）做直線l與橢圓E交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，如果線段MN被直線2x+1=0平分，求l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，則利用橢圓的定義m+n=2a，勾股定理n²+（2c）²=m²，及向量數(shù)量積，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）假設(shè)存在直線l，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合根的判別式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可知：設(shè)題意的方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，設(shè)丨PF₁丨=m，丨PF₂丨=n，
則m+n=2a，
線段PF₁為直徑的圓經(jīng)過F₂，則PF₂⊥F₁F₂，
則n²+（2c）²=m²，
9m•n×cos∠F₁PF₂=1，由9n²=1，n=$\frac{1}{3}$，解得：a=3，c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被x=-$\frac{1}{2}$平分，
∴直線l的斜率存在．
設(shè)直線l：y=kx+m，則
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$消去y，整理得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0
∵l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即m²-k²-9＜0①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{km}{{k}^{2}+9}$=-$\frac{1}{2}$，∴m=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$②
把②代入①式中得（$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$）²-（k²+9）＜0
∴k＞$\sqrt{3}$或k＜-$\sqrt{3}$，
∴直線l傾斜角α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）∪（ $\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．