Question

11．已知長方體AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E為D₁C₁的中點，如圖所示．
（Ⅰ）在所給圖中畫出平面C₁BD₁與平面B₁EC的交線（不必說明理由）；
（Ⅱ）證明：BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）求BD₁中點到平面B₁EC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC₁ 交B₁C于M，則直線ME即為平面ABD₁ 與平面B₁EC的交線；
（Ⅱ）在長方體AC₁ 中，M為BC₁ 的中點，又E為D₁C₁的中點，由三角形中位線定理可得EM∥BD₁，再由線面平行的判定可得BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）B到平面B₁EC的距離d即為BD₁中點到平面B₁EC的距離，然后利用等積法即可求得BD₁中點到平面B₁EC的距離．

解答 （Ⅰ）解：連接BC₁ 交B₁C于M，則直線ME即為平面ABD₁ 與平面B₁EC的交線，如圖所示；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），在長方體AC₁ 中，M為BC₁ 的中點，又E為D₁C₁的中點，
∴在△D₁C₁B中，EM是中位線，則EM∥BD₁，
又EM?平面B₁EC，BD₁?平面B₁EC，
∴BD₁∥平面B₁EC；
（Ⅲ）解：∵BD₁∥平面B₁EC，
∴B到平面B₁EC的距離d即為BD₁中點到平面B₁EC的距離．
∵${V_{B-{B_1}CE}}={V_{E-{B_1}CB}}$，
∴$\frac{1}{3}S{\;}_{△{B_1}CE}•d=\frac{1}{3}S{\;}_{△{B_1}CB}•1$，
∵${B}_{1}C={B}_{1}E=\sqrt{5}$，EC=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}EC}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{5-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$，${S}_{{B}_{1}CB}=1$，
∴d=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．