Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，點D是AB的中點．
（1）求證：BC₁∥平面CA₁D；
（2）求證：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
（3）若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB₁=

3

，求三棱錐B₁-A₁DC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC₁交A₁C于點E，連接DE，由直三棱柱的幾何特征及三角形中位線定理，可得DE∥BC₁，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到結(jié)論；
（2）先利用面面垂直的性質(zhì)定理證明直線CD⊥平面AA₁B₁B，再由面面垂直的判定定理證明所證結(jié)論即可
（3）三棱錐B₁-A₁DC的體積VB1-A1DC=VC-A1B1D，求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答： 證明：（1）連接AC₁交A₁C于點E，連接DE

∵四邊形AA₁C₁C是矩形，則E為AC₁的中點
又∵D是AB的中點，DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D，BC₁?面CA₁D，
∴BC₁∥平面CA₁D；
（2）AC=BC，D是AB的中點，
∴AB⊥CD，
又∵AA₁⊥面ABC，CD?面ABC，
∴AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面AA₁B₁B，
又∵CD?面CA₁D，
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B
（3）則由（2）知CD⊥面ABB₁B，
∴三棱錐B₁-A₁DC底面B₁A₁D上的高就是CD=

3

，
又∵BD=1，BB₁=

3

，
∴A₁D=B₁D=A₁B₁=2，SA1B1D=

3

，
∴三棱錐B₁-A₁DC的體積VB1-A1DC=VC-A1B1D=

1

3

•

3

•

3

=1

點評：本題主要考查了直棱柱中的線面、面面關(guān)系，線面及面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，棱錐的體積，推理論證的能力和表達(dá)能力，注意證明過程的嚴(yán)密性