Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值為m，且f（a）=m．
（Ⅰ）求m的值以及實(shí)數(shù)a的取值集合；
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)p，q，r滿足p²+2q²+r²=m，證明：q（p+r）≤2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）|x+3|+|x-1|≥（x+3）-（x-1）=4，即可求m的值以及實(shí)數(shù)a的取值集合；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知p²+2q²+r²=4，再由基本不等式即可得證．

解答 （Ⅰ）解：因?yàn)閨x+3|+|x-1|≥（x+3）-（x-1）=4
當(dāng)且僅當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，等號(hào)成立，
所以f（x）的最小值等于4，即m=4，
f（a）=m，則實(shí)數(shù)a的取值集合為{a|-3≤a≤1}；
（Ⅱ）證明：p²+2q²+r²=4≥2pq+2qr，
∴pq+qr≤2，即q（p+r）≤2，當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，考查函數(shù)的最值的求法，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．