Question

8．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC．
（1）求角A的大��；
（2）若y=cos²$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$-1，求y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可將已知轉(zhuǎn)化為2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，繼而可求得cosA=$\frac{1}{2}$，從而可求得角A的大�。�
（2）依題意，y=cos²$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{2}$（cosB+cosC）=$\frac{1}{2}$[cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）]=$\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{6}$），結(jié)合B的范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由正弦定理可得：2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA，
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）y=cos²$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{2}$（cosB+cosC）=$\frac{1}{2}$[cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）]=$\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，∴y∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查解三角形，著重考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．