Question

1．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點M在雙曲線C₁的一條漸近線上，且OM⊥MF₂，若△OMF₂的面積為16，且雙曲線C₁與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的離心率相同，則雙曲線C₁的實軸長為（　　）

• A． 32
• B． 16
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 由雙曲線C₁的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，利用點到直線的距離公式可知：丨F₂M丨=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，丨OM丨=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，△OMF₂的面積S=$\frac{1}{2}$丨F₂M丨•丨OM丨=16，則ab=32，雙曲線C₂的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即可求得a和b的值，雙曲線C₁的實軸長2a=16．

解答 解：由雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，
∵OM⊥MF₂，F(xiàn)₂（c，0），
∴丨F₂M丨=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
∵丨OF₂丨=c，丨OM丨=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a△OMF₂的面積S=$\frac{1}{2}$丨F₂M丨•丨OM丨=$\frac{1}{2}$ab=16，則ab=32，
雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得：a=8，b=4，
雙曲線C₁的實軸長2a=16，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．