Question

1．如圖，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以橢圓C的上頂點T為圓心作圓T：x²+（y-1）²=r²（r＞0），圓T與橢圓C在第一象限交于點A，在第二象限交于點B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{TA}•\overrightarrow{TB}$的最小值，并求出此時圓T的方程；
（Ⅲ）設點P是橢圓C上異于A，B的一點，且直線PA，PB分別與Y軸交于點M，N，O為坐標原點，求證：|OM|•|ON|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出b的值，根據e=$\frac{c}{a}$，從而求出橢圓的方程即可；
（Ⅱ）設出A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），求出$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$的表達式，根據二次函數的性質求出其最小值，從而求出A的坐標即可；
（Ⅲ）設p（x₀，y₀），則PA的方程為y-y₀=$\frac{{{y}_{0}-y}_{1}}{{{x}_{0}-x}_{1}}$（x-x₀），分別求出y_M和y_N的值，從而證出|OM|•|ON|為定值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓得：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a²-c²=1，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，得a²=4，c²=3，b²=1，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）∵點A與點B關于y軸對稱，
設A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），
由點A在橢圓C上，則${{x}_{1}}^{2}$=4-4${{y}_{1}}^{2}$，
∵T（0，1），得$\overrightarrow{TA}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{TB}$=（-x₁，y₁-1），
∴$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$=-${{x}_{1}}^{2}$+${{（y}_{1}-1）}^{2}$=4${{y}_{1}}^{2}$-4+${{y}_{1}}^{2}$-2y₁+1=5${{（y}_{1}-\frac{1}{5}）}^{2}$-$\frac{16}{5}$，
由題意得，0＜y₁＜1，
∴當y₁=$\frac{1}{5}$時，$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$取得最小值-$\frac{16}{5}$，
此時，${{x}_{1}}^{2}$=4-$\frac{4}{25}$，x₁=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
故A（$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，$\frac{1}{5}$），
又點A在圓T上，帶入圓的方程，得r²=$\frac{112}{25}$，
故圓T的方程是x²+（y-1）²=$\frac{112}{25}$；
（Ⅲ）設p（x₀，y₀），則PA的方程為y-y₀=$\frac{{{y}_{0}-y}_{1}}{{{x}_{0}-x}_{1}}$（x-x₀），
令x=0，得y_M=y₀-$\frac{（{{y}_{0}-y}_{1}{）x}_{0}}{{{x}_{0}-x}_{1}}$=$\frac{{{{{x}_{0}y}_{1}-x}_{1}y}_{0}}{{{x}_{0}-x}_{1}}$，
同理可得，y_N=$\frac{{{x}_{0}y}_{1}{{+x}_{1}y}_{0}}{{{x}_{0}+x}_{1}}$，
故y_M•y_N=$\frac{{{{{x}_{0}}^{2}y}_{1}}^{2}{{{{-x}_{1}}^{2}y}_{0}}^{2}}{{{{{x}_{0}}^{2}-x}_{1}}^{2}}$①，
∵p（x₀，y₀），A（x₁，y₁）都在橢圓C上，
∴${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，${{y}_{1}}^{2}$=1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，
帶入①得，y_M•y_N=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）{{-x}_{1}}^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）}{{{{{x}_{0}}^{2}-x}_{1}}^{2}}$=1，
即得|OM|•|ON|=|y_M•y_N|=1為定值．

點評 本題考查了橢圓的性質，考查斜率問題以及二次函數的性質，考查計算能力，是一道綜合題．