Question

17．甲、乙兩地相距600千米，一輛貨車從甲地勻速行駛到乙地，規(guī)定速度不超過100千米/小時．已知貨車每小時的運輸成本（單位：元）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，比例系數為0.02；固定部分為m元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時）的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，貨車應以多大速度勻速行駛？

Answer 1

分析 （1）求出汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間，根據貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可得全程運輸成本，及函數的定義域；
（2）利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，（a=b時取得等號），可得v=80千米/時，全程運輸成本最小．

解答 解：（1）依題意知貨車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為$\frac{600}{v}$，
全程運輸成本為y=（0.02v²+m）×$\frac{600}{v}$=12v+$\frac{600m}{v}$，（0＜v＜100）；
（2）當12v=$\frac{600m}{v}$時，即v=5$\sqrt{2m}$．
①當5$\sqrt{2m}$≤100時，即0＜m≤200時，y_min=12×5$\sqrt{2m}$+$\frac{600m}{5\sqrt{2m}}=120\sqrt{2m}$．
②$當5\sqrt{2m}＞100，即m＞200$時，${y}_{min}=12×100+\frac{600m}{100}=1200+6m$．
綜上：0＜m≤200時，貨車應以5$\sqrt{2m}$千米/小時速度勻速行駛，全程運輸成本最小為120$\sqrt{2m}$，．
m＞200時，貨車應以100千米/小時速度勻速行駛，全程運輸成本最小為1200+6m

點評 題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是構建函數模型，利用基本不等式求最值．