【題目】在四棱錐中，平面 平面，底面為梯形，，且

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；

（Ⅲ）若M是棱PA的中點，求證：對于棱BC上任意一點F，MF與PC都不平行.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到線面垂直；

（Ⅱ）利用空間向量求解法向量，從而計算出二面角；

（Ⅲ）利用反證法或者向量求解.

（Ⅰ）在平面中過點作，交于

因為平面平面

平面

平面平面

所以平面

因為平面

所以

又，且

所以平面

（Ⅱ）因為平面，所以

又，

以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系

所以，

因為平面，所以取平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為

因為，所以

所以

令 ，則 ，所以

所以

由題知為銳角，所以的余弦值為

（Ⅲ）

法一：

假設(shè)棱上存在點，使得，顯然與點不同

所以四點共面于

所以 ，

所以 ，

所以就是點確定的平面，所以

這與為四棱錐矛盾，所以假設(shè)錯誤，即問題得證

法二：

假設(shè)棱上存在點，使得

連接，取其中點

在中，因為分別為的中點，所以

因為過直線外一點只有一條直線和已知直線平行，所以與重合

所以點在線段上，所以是，的交點，即就是

而與相交，矛盾，所以假設(shè)錯誤，問題得證

法三：假設(shè)棱上存在點，使得，

設(shè)，所以

因為，所以

所以有，這個方程組無解

所以假設(shè)錯誤，即問題得證

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）當時，若對任意的，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)。

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若（2）中函數(shù)有兩個極值點，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】某人從上一層到二層需跨10級臺階. 他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步. 從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階. 則他從一層到二層可能的不同過程共有（ ）種.

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分14分）

已知數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的前項和．

（1）求數(shù)列與的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓：，圓關(guān)于直線對稱，圓心在第二象限，半徑為.

（1）求圓的方程；

（2）直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年國際象棋奧林匹克團體賽中國男隊、女隊同時奪冠.國際象棋中騎士的移動規(guī)則是沿著3×2格或2×3格的對角移動.在歷史上，歐拉、泰勒、哈密爾頓等數(shù)學家研究了“騎士巡游”問題：在格的黑白相間的國際象棋棋盤上移動騎士，是否可以讓騎士從某方格內(nèi)出發(fā)不重復(fù)地走遍棋盤上的每一格？

圖（一）給出了騎士的一種走法，它從圖上標1的方格內(nèi)出發(fā)，依次經(jīng)過標2,3,4,5,6，，到達標64的方格內(nèi)，不重復(fù)地走遍棋盤上的每一格，又可從標64的方格內(nèi)直接走回到標1的方格內(nèi).如果騎士的出發(fā)點在左下角標50的方格內(nèi)，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到標50的方格內(nèi).

若騎士限制在圖（二）中的3×4=12格內(nèi)按規(guī)則移動，存在唯一一種給方格標數(shù)字的方式，使得騎士從左上角標1的方格內(nèi)出發(fā)，依次不重復(fù)經(jīng)過2,3,4,5,6,,到達右下角標12的方格內(nèi)，分析圖（二）中A處所標的數(shù)應(yīng)為____.

35

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50

23

10

61

48

59

6

3

圖（一）

1

A

3

12

圖（二）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ當時，取得極值，求的值并判斷是極大值點還是極小值點；

Ⅱ當函數(shù)有兩個極值點，，且時，總有成立，求的取值范圍．

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