Question

【題目】如圖，已知DP⊥y軸，點(diǎn)D為垂足，點(diǎn)M在線段DP的延長(zhǎng)線上，且滿足|DP|=|PM|，當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=3上運(yùn)動(dòng)時(shí)
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）直線l：x=my+3（m≠0）交曲線C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B1（點(diǎn)B1與點(diǎn)A不重合），且直線B1A與x軸交于點(diǎn)E． ①證明：點(diǎn)E是定點(diǎn)；
②△EAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），則P（ x，y），代入x2+y2=3，可得 x2+y2=3，即
（2）①證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線與橢圓C方程聯(lián)立，

化簡(jiǎn)并整理得（m2+4）y2+6my﹣3=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由題設(shè)知B1（x2，﹣y2），∴直線AB1的方程為y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0得x= =4，

∴點(diǎn)E（4，0）…（7分）

②△EAB的面積S= |PF||y1﹣y2|=2 =2 ≤1

當(dāng)且僅當(dāng) ，即m= 時(shí)等號(hào)成立，

∴△PMN的面積存在最大值，最大值為1

【解析】（1）利用代入法，即可求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）①由題意，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），可得直線AB1的方程，令y=0，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0）． ②利用△EAB的面積為S= |PF||y1﹣y2|=2 ，化簡(jiǎn)，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．