Question

已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，PQ⊥l，線段PF與y軸的交點(diǎn)為R，且

RQ

•

FP

=0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程
（2）直線l與x軸交于點(diǎn)M，過F的直線l₁交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，試探究點(diǎn)M與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并加以說明．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，RQ是線段FP的垂直平分線，點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）分類討論，求出|MN|與半徑，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意知，直線l的方程為：x=-1，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)K（-1，0），由OK平行于直線l可得，
OR是△FPK的中位線，故點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)．
又RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線．∴|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離．
∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴|PQ|=|QF|．
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y²=4x．
（2）①AB⊥x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為（x-1）²+y²=4，M（-1，0）在圓上；
②AB斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線代入拋物線可得k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
圓的直徑|AB|=x₁+x₂+p=4+

4

k2

，AB中點(diǎn)（1+

2

k2

，

2

k

），
∴|MN|=

(1+ 2 k2 +1)2+ 4 k2

＞

4+ 8 k2 + 4 k4

=2+

2

k2

=

1

2

|AB|，
∴M（-1，0）在圓外．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題．