Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為

π

2

，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求使f（x）≥

1

2

成立的x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=-

1

2

g′(

π

6

)sinωx+

3

cosωx，其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若g（x）=

2

7

，且

π

12

＜x＜

π

3

，求cos2x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由周期求得ω，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得f（x）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得使f（x）≥

1

2

成立的x的取值范圍．
（Ⅱ）由條件求得g（x）的解析式，sin(2x+

π

3

)=

1

7

．再根據(jù)

π

12

＜x＜

π

3

，求得cos(2x+

π

3

)=-

4 3

7

，再利用兩角差的余弦公式求得cos（2x）=cos[（2x+

π

3

）-

π

3

]的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離

π

2

，
∴函數(shù)的周期T=π，ω=

2π

π

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）．
將f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后得到的函數(shù)為y=sin(2x+

π

3

+φ)，
∵y=sin(2x+

π

3

+φ)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴

π

3

+φ=kπ+

π

2

(k∈Z)．
又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
即f(x)=sin(2x+

π

6

)，
由f(x)≥

1

2

得：sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，
即2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)，
∴使f(x)≥

1

2

的x的取值范圍是[kπ，kπ+

π

3

](k∈Z)．

（Ⅱ）∵g(x)=-

1

2

g′(

π

6

)sin2x+

3

cos2x，
∴g′(x)=-g′(

π

6

)cos2x-2

3

sin2x．
令x=

π

6

得g′(

π

6

)=-g′(

π

6

)cos

π

3

-2

3

sin

π

3

，解得g′(

π

6

)=-2，
∴g(x)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)．
∵g(x)=

2

7

，
∴sin(2x+

π

3

)=

1

7

．
∵

π

12

＜x＜

π

3

，
∴

π

2

＜2x+

π

3

＜π，
∴cos(2x+

π

3

)=-

4 3

7

，
∴cos2x=cos(2x+

π

3

-

π

3

)=-

4 3

7

×

1

2

+

1

7

×

3

2

=-

3 3

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．